Ecuaciones Lineales.

Ecuaciones Lineales.
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años.

- Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones es compatible cuando tiene solución.
Un sistema de ecuaciones es compatible determinado cuando tiene solución única.
Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos sus terminos independientes son cero.

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?

1. Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales
Ejemplo:

2. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son
Ejemplo:

3. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra
Ejemplo:
Resolución de ecuaciones lineales
Un ejemplo de ecuación lineal:
incógnita
El planteamiento clásico del problema es: ¿para qué valor de x se satisface la ecuación anterior?
Entonces surge una interrogante: ¿qué es una ecuación? ¿qué es una ecuación lineal?
Se dice que una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas.
Por ejemplo es clara la igualdad 3 + 4 = 7
Esa es una igualdad y no es una ecuación puesto que no tiene ningún misterio. Sin embargo si ocultamos la cantidad 4 y la reemplazamos por una letra, por ejemplo la x, tenemos
Esta es entonces una ecuación, y observemos que el nombre de la letra no tiene importancia. Es la misma ecuación que
Además diremos que es una ecuación lineal o de primer grado, porque se asegura que la incógnita no tiene un exponente distinto de 1.
Una ecuación que no es lineal es la siguiente:
Y son difíciles de resolver. Debemos dominar el desarrollo de las soluciones de ecuaciones lineales para poder emprender otros desafíos.
Vamos a dirigir nuestros esfuerzos entonces a resolver
La ecuación se trabaja como en una suerte de balanza
=
Resolución de ecuaciones lineales
Para tener la balanza equilibrada significa que lo que hagamos en un platillo de la balanza (en un miembro) debemos hacerlo exactamente en el otro, de tal forma que se mantenga el equilibrio de la balanza (la igualdad)
=
Es un denominador “incómodo”
Multiplicamos entonces por 3 cada platillo de la balanza, o si lo prefiere cada miembro de la igualdad
En ambos miembros de la ecuación restamos 5x
¡Esta es la solución!
Para comprobar que nuestro desarrollo fue exitoso reemplazamos el valor obtenido de x = 75 en la ecuación original

Algunas indicaciones para que el niño o niña aprenda.
• Empiece con ejercicio fáciles, sin fracciones, pero que las incógnitas estén en ambos lados de la ecuación.
• No le enseñe el fatídico algoritmo de que “si está un término con signo más pasa al otro lado con signo menos, y si está con menos pasa al otro lado con signo más”. Deje que el propio estudiante, a base de varios ejercicios, descubra por sí solo esa regla.
• Luego empiece con coeficientes fraccionados, pero tampoco enséñe el fatídico algoritmo “si está dividiendo pasa al otro lado multiplicando, y si está multiplicando pasa al otro lado dividiendo”. Nuevamente deje que el propio estudiante descubra esa regla.
• Convenza al estudiante que las ecuaciones lineales existen en la vida diaria, de modo que usted deberá plantearles problemas reales o lúdicos (nada más real que los juegos para los niños).

Juan, Pedro y Diego deciden hacer una “vaca” para salir a divertirse un fin de semana. Juan puso una cierta cantidad, Pedro puso el doble que Juan, y Diego puso el triple del aporte de Juan. En total reunieron 6000 pesos. ¿Cuánto puso cada uno?
Sea z la cantidad desconocida que puso Juan, entonces Pedro puso 2 z, y Diego entonces puso 3 z, y puesto que el total de los aportes es de 6000 pesos, tenemos la ecuación:
Resolviendo
Dividiendo en ambos miembros por 6, nos queda
1000 pesos aportó Juan, 2000 pesos aportó Pedro y 3000 pesos Diego
Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:

donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes.
Representación matricial de un s.e.l.
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse Am,n • Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina matriz de coeficientes.
También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:

Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius
Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y r' se verifican:
1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')
2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:
Si r = r' = n (nº de incógnitas)  Sistema compatible determinado (una única solución)
Si r = r' < n (nº de incógnitas)  Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.
Resolución de un s.e.l.
a) Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
Ejemplo
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si A•X = B, entonces X = A-1B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.