La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es ("la medición de los triángulos"). Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA:
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
EVOLUCION DE LA TRIGONOMETRÍA:
Aunque no era reconocida como objeto de estudio la noción de función empieza a manifestarse desde la antigüedad en la construcción de tablas para cálculos y astronomía.
La evolución de la noción de función se dio asociada al estudio del cambio, en particular del movimiento. “El estudio del cambio se inicia con la representación gráfica-geométrica, construida por Nicolás Oresme (S.XIV) como método para representar las propiedades cambiantes de los objetos. Utiliza la continuidad de los segmentos para expresar la relación de variabilidad entre cantidades variables pues no se disponía de un continuo numérico, para representar el movimiento de esta forma, las gráficas se consideraron modelos geométricos de las relaciones funcionales.”
Para Galileo (1.564-1.642) el interés primordial fue descubrir como actúan las cosas más que el porqué lo hacen. Él introdujo lo numérico en las representaciones gráficas y expresó las leyes del movimiento, a las que incorporó el lenguaje de la teoría de las proporciones, dando un sentido de variación directa o indirectamente proporcional. Lenguaje que junto con la teoría de la época encubrió aspectos de variación continua.
Con Viète (1.540-1.603) quedó prácticamente terminada la trigonometría elemental (no analítica). Para el año 1.579 Viète amplio las tablas de Rhaeticus (1.514-1.576) dando los valores con siete decimales de las seis funciones para cada segundo de arco en vez de cada diez segundos como lo había hecho Rhaeticus en 1.551. A finales del siglo XVI no se tenía un concepto claro del significado de las raíces de una ecuación algebraica que surgía de la comprensión incompleta que tenía el álgebra del sistema de los números. Por ejemplo, para Francisco Viète parece que las raíces negativas fueron ininteligibles, él no admitía ni coeficientes ni raíces negativas.
Con Descartes(1.592-1.650) y Fermat (1.601-1.665) se introduce por primera vez la idea de que una ecuación en x y y es un medio para expresar la dependencia entre dos cantidades variables . Con el apoyo en el desarrollo del álgebra, la introducción de signos para las operaciones, la utilización de letras para representar cantidades desconocidas y constantes, junto con los progresos alcanzados en la extensión del concepto de número (aparición de los imaginarios) la dependencia entre variables comienza a ser reconocida como una relación que se expresa por medio de expresiones analíticas. Al advertir que una ecuación entre x y y expresa dependencia entre ambas, Descartes y Fermat introducen el método analítico para la representación de las funciones en ecuaciones algebraicas, asociadas a las curvas geométricas, las curvas cuya naturaleza no era geométrica se denominaron mecánicas
CLASIFICACIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA:
Fundador de la trigonometría, autor del primer catálogo de estrellas, que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas, tal cual, por Tolomeo. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA:
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
RAZONES TRIGONOMETRICAS:
Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:
• Seno sen a = ordenada / radio = y / r
• Coseno cos a = abscisa / radio = x / r
• Tangente tg a = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x
• Cotangente cotg a = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y
• Secante sec a = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x
• Cosecante cosec a = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y
FUNCIONES DE LA TRIGONOMETRÍA:
En matemática, las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo; tienen importancia en el estudio de la geometría de los triángulos y en la representación de fenómenos periódicos, entre otras muchas aplicaciones.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE 30, 45, 60, Y 90 GRADOS
Problemas típicos con fórmulas trigonométricas
Suponte que te piden demostrar que:
El chiste para hacer estos problemas es el siguiente:
Escribe el ángulo que te piden (75° en éste caso) como la suma de dos ángulos cuyas funciones trigonométricas conozcas (osea en términos de 30°, 45°, 60° ó 90°)
Vemos entonces que 75° lo podemos escribir como la suma de 30° + 45°. Sustituyendo queda:
sen (75°) = sen (30° +45°)
Recordamos ahora la fórmula trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos:
sen(A + B) = sen(A) cos (B) + sen (B) cos(A)
aquí A va a ser 30° y B va a ser 45°.
Sustituyendo queda:
sen (30° + 45°) = sen (30°) cos (45°) + sen(45°) cos(30°)
sustituimos ahora a lo que es igual cada seno y coseno:
Factoricemos todo lo que podamos:
