ECUACIONES LINEALES:

ECUACIONES LINEALES:

Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Son llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones que donde aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:







TIPOS DE ECUACIONES LINEALES
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
• Ecuación general

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.


• Ecuación segmentaría

Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
• Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
• Casos especiales:

Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.

Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones
CONCEPTOS Y RESOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS LINEALES:
1. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución
1º. Comprender el problema.
Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.
Ordenamos los elementos del problema:
Hoy dentro de 8 años
La madre x x + 8
La hija y y + 8
2º. Concebir un plan.
Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:
x = 27 + y x + 8 = 2(y +8)
Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de sustitución.
3º Ejecutar el plan. x = 27 + y
Entonces: 27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 -16 = y Þ y = 19, x = 46
4º Examinar la solución obtenida.
La solución obtenida es factible por ser entera. El método empleado se puede usar en problemas “similares”.


SISTEMAS LINEALES DE ECUACIÓN
En matemática y álgebra lineal, un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:



La cuestión consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
SISTEMA LINEALES DE NUMEROS REALES
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los los coeficientes de las ecuaciones son números reales.
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde intersecten todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta óptica.