SITEMA DE TRES ECUACIONES LENEALES EN TRES VARIABLE.

SITEMA DE TRES ECUACIONES LENEALES EN TRES VARIABLE.

Los métodos de eliminación que fueron aplicados en la solución del sistema de ecuaciones en dos variables, pueden aplicarse también para resolver sistemas de tres ecuaciones en dos variables, puede aplicarse para resolverse sistemas de tres ecuaciones en tres variables.

Por ejemplo, consideramos el siguiente sistema:
2x + y – z = 0 (1)
5x + 3y – 2z = 1 (2)
-x + 2y + 5z = 11 (3)

Para resolver este sistema por sustitución, daremos lo siguientes pasos:

1) Despejemos y en la ecuación (1):
y = -2x + z

2) Sustituimos la Variable y por su expresión correspondiente en las ecuaciones 2 y 3. En este caso:

5x + 3)-2x + z) – 2z = 1 (2)
-x + 2(-2x + z) 5z = 11 (3)

Efectuando las operaciones indicadas, tendremos:

5x – 6x + 3z – 2z = 1 -x + z = 1 (4)
-x – 4x + 2z + 5z = 11 -5 + 7z = 11 (5)
Observación que el sistema dado se ha reducido a un sistema de dos ecuaciones en dos variables, por tanto, a partir de aquí podemos emplear cualquiera de los dos métodos de eliminación. De continuar con el método de sustitución podemos despejar la variable z en la ecuación (4). En este caso:

Z = 1 + x
Sutituye en la Ecuación (5), se tiene
-5x + 7(1 + x) = 11
-5x + 7 + 7x = 11
2x = 11 – 7

X = 4
2
X = 2

Para hallar el valor de z, podemos tomar la ecuación z = 1 + x

z = 1 + x
z = 1 + 2
z = 3

Para hallar el valor de y, podemos tomar la ecuación y = -2x + z.

y = -2x + z
y = -2(2) + 3
y = -1

Luego, el conjunto solución del sistema dado e la tema (2,-1,3).

Resolvamos ahora el sistema dado, por igualación:

2x + y – z = 0
5x + 3y – 2z = 1
-x + 2y + 5z = 11


Despejando la variable y en las tres ecuaciones, tendremos:
a) En la ecuación (1): y = z – 2x

b) En la Ecuación (2): y = 1 – 5x + 2z
3
c) En la ecuación (3): y = 11 + x – 5z
2

Si igualamos las expresiones correspondientes a la variable y en las ecuaciones 1 y 2, tendremos:

1 – 5x + 2z 3(z – 2x) = 1 5x + 2z
Z – 2x = 3


3z – 6x = 1 – 5x + 2z
-6x + 5x + 3z – 2z = 1
-x + z = 1 (4)
Si igualamos las expresiones correspondientes a la variable y en la ecuación 1 y 3, se tiene:

11 + x – 5z 2(z – 2x) = 11 + x – 5z
Z – 2x = 2

2z – 4x = 11 + x – 5z
-4 – x + 2z + 5z = 11
-5x + 7z = 11 (5)
Combinando las ecuaciones (4) y (5), tendremos:
-x + z = 1 (4)
-5 + 7z = 11 (5)



Si despejamos z en ambas ecuaciones, tendremos:
z = 1 + x (4)
11 + 5x
z = 7

Igualando las expresiones correspondientes a z, se tiene:
11 + 5x 7(1 + x) = 11 + 5x
1 + x = 7

7 + 7x = 11 + 5x
7x – 5x = 11 – 7
2x = 4
X = 2
Sustituyendo x en z = 1 + x se tiene:
z = 1 + 2
z = 3
Sustituyendo x y z en y = z – 2x resulta:
y = 1 + 2
z = 3 – 4
y = -1

x = 2
Luego, el conjunto solución es la tema y = -1
Z = 3
Vamos ahora a resolver el sistema anterior por el método de reducción:
2x + y – z = 0 (1)
5x + 3y – 2z = 1 (2)
-x + 2y + 5z = 11 (3)




Si multiplicamos la ecuación (1) por -2 y la combinamos con la ecuación (2), tendremos:

(2x + y – z = 0) (-2) -4x – 2y + 2z = 0
5x + 3y – 2z = 1 5x + 3y – 2z = 1

Sumandos miembros a miembro estas ecuaciones, tendremos:
-4x – 2y + 2z = 0
5x + 3y – 2z = 1
x + y = 1

Si ahora multiplicamos la ecuación (1) por 5 y la combinación con la ecuación (3), tendremos:

(2x + y – z = 0) (5) 10x + 5y 5z = 0
-x + 2y + 5z = 11 -x + 2y + 5z = 11

Sumando miembro a miembro estas ecuaciones, se tienen:
10x + 5y – 5z = 0
-x + 2y + 5z = 11
9x + 7y = 11 (5)

Combinando las ecuaciones (4) y (5), tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variable:
X + y = 1 (4)
9x + 7y = 11 (5)
Multiplicando la ecuación (4) por -7, tendremos:
(x + y = 1) (-7) -7x – 7y = -7
9x + 7y = 11 9x + 7y = 11
Sumando miembro a miembro estas ultimas dos ecuaciones, se eliminan una de las variables:

-7x – 7y = -7
9x + 7y = 11
2x = 4

4
x = 2 = 2


Sustituyendo el valor de x en la ecuación (4) se obtiene en valor de y.

x + y = 1 2 + y = 1 y = 1 - 2
y = -1

Sustituyendo los valores de x y de y en la ecuación 2x+y-z = 0 se determina el valor de z
2(2) + (-1) –z = 0
4 – 1 – z = 0
4 – 1 = z
z = 3


Luego, el C.S. del sistema es la tema (2, - 1,3)


Como se ha podido observar, hemos resultado un mismo sistema por diferentes métodos y la solución ha sido la misma, los cual conforma una vez mas que la solución del sistema no depende del método empleado para resolver